Выпускник Хабаровского военного института ФПС России (сегодня Хабаровский пограничный институт ФСБ России), Абрамов служил в сложных регионах: на Северном Кавказе и в Республике Дагестан. Как один из самых достойных офицеров в марте 2010 года был переведен в отдел сопровождения оперативных мероприятий УФСБ России по Республике Дагестан.
Напомним, 16 июня 2010 года во время проведения контртеррористической операции группа, в которой был майор Абрамов, попала в засаду. Завязался бой, один из сотрудников был ранен. При эвакуации раненого из-под огня Алексей, сам получивший смертельное ранение, ценой собственной жизни обеспечил отход группы. Ему было 33 года.
За проявленные мужество и отвагу Алексей Абрамов посмертно награжден орденом "Мужества".